Statistiques concernant les contrats de tournois de bridge de haut niveau

Résumé :
Nous utilisons des méthodes statistiques pour étudier les contrats obtenus par des joueurs de haut niveau au jeu de bridge. Les contrats déclarés par les humains et leurs résultats sont comparés à leurs homologues du double mort. L'étude se place dans le cadre des duplicates scorés en IMPs, et ne concerne pas les tournois par paires.

Nous étudions statistiquement le niveau et la réussite des contrats obtenus par des joueurs dans des compétitions internationales.

Nous exploitons une base de données de donnes de bridge effectivement jouées en duplicate dans des compétitions de niveau mondial, avec une notation en IMPs, dans la période 1990-2016. Cette base comporte 128.171 donnes, dont 116.102 donnes avec une information complète sur le déroulement (enchères, jeu de la carte)

Nature des contrats déclarés par les joueurs

Ce tableau montre que les majeures sont préférées aux mineures dans tous les contrats, mais particulièrement dans les manches. D'autre part, les contrats à Sans Atout sont nettement plus nombreux dans les manches que dans les partielles ou dans les chelems.

Les contrats à Sans Atout sont rarement contrés. Les manches en mineure le sont beaucoup plus souvent, de même que les grands chelems en mineures, probablement car ces contrats sont soupçonnés d'être des défenses qui chutent. Les partielles en majeures ne sont que rarement contrées, puisque la pénalité en cas de succès du contrat devient très importante.

Au total, il y a 8534 contrats contrés punitif (7,4 %), et seulement 120 contrats surcontrés (0,1 %).

L'annonce "contre" (informatif ou punitif) apparaît dans 32,2% des séquences d'enchères. Le "contre" purement informatif, c'est-à-dire non final dans les enchères et donc non punitif, apparaît dans 28,2 % des séquences d'enchères.

S'il est peu surprenant de trouver des contres informatifs au niveau des partielles, il peut sembler surprenant d'en trouver un aussi grand nombre au niveau des chelems, ce qui témoigne du caractère compétitif des enchères modernes.

Succès des contrats déclarés par les joueurs

Sur les 116102 contrats, 74651 (64,3%) ont gagné.

Ce tableau montre queles grands chelems ne sont contrés que lorsqu'ils ont une très sérieuse probabilité de chuter. A l'inverse, plus de 34 % des contrats contrés à Sans Atout gagnent, ce qui explique vraisemblablement le faible taux de Contre des enchères à SA.

Bien que les 120 surcontres de notre base soient anecdotiques, et que quelques-uns correspondent à des mésententes entre partenaires (par exemple un surcontre SOS étant interprété à tort par le partenaire comme une main forte), il est intéressant de noter les taux de réussite de ces contrats et leur répartition :

Le seul cas de grand chelem surcontré (et réussi) est suffisamment curieux pour être donné ici à titre d'illustration :

Les enchères "à la hussarde" : Sud Ouest Nord Est Passe 2♣ Passe 2♥ Passe 3♦ Passe 3♥ Passe 6♥ Passe 7♥ Passe Passe Contre Surcontre ! Tous passent L'entame malheureuse à Carreau donne évidemment toutes les levées au déclarant. Dans l'autre salle, Nord jouait 6♠X et chutait de 5 levées pour 1100 points.

Le PAR en double mort

Le double mort est une variante du bridge dans laquelle les 2 camps (NS et EO) jouent l'un contre l'autre de façon optimale, en pleine connaissance des 4 mains du jeu. C'est une méthode utilisée dans tous les logiciels de jeu de haut niveau pour évaluer statistiquement le déroulement d'une donne, ses résultats, et les meilleurs contrats.

Détermination du PAR en double mort

Le PAR ou contrat de PAR correspond au niveau optimal des enchères du bridge, déterminé classiquement en double-mort comme suit : on examine les contrats optimaux des 2 camps (Nord-Sud et Est-Ouest) tandis que chaque camp connaît les 4 mains. Chaque camp enchérit à tour de rôle, s'il y a une enchère meilleure pour lui que la dernière faite par l'autre camp. Le processus s'arrête lorsqu'il n'y a pas de meilleure enchère, et on a ainsi atteint l'équilibre de Nash.

Le PAR est donc :

• soit le contrat optimal de l'un des camps,
• soit un contrat plus élevé qu'aucun des 2 camps ne peut améliorer, et dont le score est compris en valeur algébrique entre les scores des contrats optimaux des deux camps. D'où la qualification de contrat sous-optimal. Un contrat sous-optimal est donc typiquement un contrat de défense.

Exemple : considérons la donne suivante

• Le camp Est-Ouest est arrivé à l'enchère, optimale pour son camp, de 4♥. Si ce contrat était accepté, le gain, compté négativement puisqu'il s'agit de Est-Ouest, serait de -680.
• Le camp Nord-Sud déclare son contrat optimal de 4♠. Si ce contrat était accepté, le gain pour son camp serait de +420.
• Est-Ouest annonce alors 5♥. Ce contrat chute de 1, le score est donc de +200 pour Nord-Sud. Ce score est bien compris dans l'intervalle [-680, +420] et est donc parfaitement acceptable. Plus personne ne surenchérit.

Comparaison entre les résultats des experts humains et double mort

La figure 1 montre la relation entre le score obtenu par les experts internationaux (en abcisse) et la valeur du PAR, calculée en double mort (en ordonnée). Sur chacun des axes, le score est compté positivement si Nord-Sud marque dans sa colonne, et négativement si c'est Est-Ouest qui gagne les points.

Nombre de levées double mort Contrats à une couleur Contrats à SA Nombre de contrats à la couleur Nombre moyen de levées à la couleur (variance) Nombre de contrats à SA Nombre moyen de levées à SA (variance) 6 2698 6.44 (0.76) 2585 6.61 (1.44) 7 6372 7.33 (0.68) 4637 7.42 (1.24) 8 12413 8.17 (0.62) 6941 8.23 (1.25) 9 17628 9.06 (0.54) 6895 9.13 (1.08) 10 18400 9.95 (0.51) 5273 9.91 (1.07) 11 14053 10.87 (0.46) 3149 10.69 (1.07) 12 7755 11.79 (0.40) 1584 11.56 (0.94) 13 2226 12.62 (0.36) 423 12.38 (1.24)

Figure 1 : Relation entre le score des joueurs humains et le PAR calculé en double mort.
A gauche, représentation par des points de la correspondance entre les scores humains et double-mort.
A droite, correspondance entre le nombre de levées réalisé en double mort et le nombre de levées réalisé par les joueurs humains ; en italiques, la variance exprimée en nombre de levées, beaucoup plus importante pour les contrats à Sans Atout, à la fois à cause de l'incertitude créée par l'entame que celle du reste du jeu à la carte.

La relative linéarité de la correspondance entre le score des joueurs et le PAR calculé en double mort nous suggère d'utiliser la technique du double mort pour étudier le comportement des joueurs humains.

Le tableau suivant compare, pour les mêmes donnes, les contrats de PAR obtenus en double mort et ceux des humains, par niveau de contrat.

Dans l'ensemble, la correspondance est bonne, toutefois :

• le double mort est plus pessimiste pour les manches
• le double mort est plus optimiste pour les chelems.

• Concernant les manches, c'est lié au fait double-mort imagine une entame optimale de son adversaire, alors qu'en pratique le joueur humain a une probabilité de 27 % de faire une entame malheureuse à SA et de 16 % à un contrat à la couleur. A ce sujet, voir: Statistiques sur les entames .
• Concernant les chelems, c'est dû au fait que le double mort a un réel avantage par rapport à l'humain pour lire les impasses et les fins de coup. Par exemple, un humain ne déclarera pas un grand chelem qui se fait sur une impasse, alors que le double mort sait tout sur les distributions adverses.

Enchères compétitives des joueurs

Nous distinguons 3 types de séquences d'enchères ;

1. Le camp du déclarant a enchéri sans aucune intervention adverse
2. Les adversaires ont contré au moins une fois une annonce du camp déclarant avant l'annonce du contrat final, mais n'ont annoncé eux-même aucun contrat
3. Les adversaires ont annoncé eux-même un ou plusieurs contrats avant l'annonce du contrat final.

La fréquence des différents cas de figure est donnée dans le tableau suivant, ainsi que le taux de réussite des contrats.

Sans surprise, on voit que les contrats déclarés dans un total silence adverse sont plus souvent réussis par les déclarants. Les séquences d'enchères ayant subi des contres informatifs (généralement d'appel) ont des taux de réussite inférieurs. Enfin, lorsque les enchères sont vraiment compétitives, le taux de réussite est encore réduit du fait que beaucoup de contrats sont déclarés en défense, avec une très forte probabilité de chute.

Egalement sans surprise, nous apprenons que seulement 1,6 % des contrats déclarés librement sont contrés.

Comparaison du jeu de la carte humain / double mort selon la compétitivité
Nature des enchères	Surcroît de succès humain par rapport au double mort (en % de contrats réussis)	Surcroît de levées humain par rapport au double mort
Non compétitives	0,1 %	-0,004
Contre informatif mais sans annonce	1,3 %	0,018
Compétitives	2,1 %	0,049

Le tableau ci-contre ne concerne que les contrats à la couleur. Il montre que les contrats humains ont quasiment le même succès que le double mort dans les enchères non compétitives, mais que le déclarant humain performe mieux au jeu de la carte dans les compétitives. On peut en inférer que les nombreuses indications apportées par les enchères compétitives profitent davantage au jeu de la carte du déclarant qu'au jeu de la carte du flanc.

Les tableaux qui suivent sont l'équivalent du tableau 1 pour les 3 types de séquences déclaratives :

Sans intervention adverse, les contrats à SA sont plus nombreux dans les différents compartiments d'enchères.

Dès lors qu'il y a un contre informatif des adversaires, le taux de contrats à SA s'effondre, sauf pour les grands chelems. C'est aussi la catégorie d'enchères où les contrats dans les majeures sont les plus nombreux, quel que soit le niveau de ces contrats. On peut supposer que le type des mains de la donne se prête mieux à un contrat en majeure, mais aussi que les déclarants privilégient la majeure lorsqu'ils sentent une menace du côté des adversaires.

Avec intervention adverse, les contrats dans les mineures prennent de l'essor, au détriment des contrats dans les majeures et à SA.

Répartition des contractants selon la vulnérabilité des 2 camps

Lorsque les 2 camps sont vulnérables ou lorsque aucun des deux n'est vulnérable, le nombre de contrats est évidemment statistiquement le même dans les 2 camps. Tel n'est pas le cas lorsque l'un des camps est vulnérable et l'autre ne l'est pas :

Dans ce tableau, les pourcentages sont donnés par rapport au nombre total de contrats joués. Etant donné que les contrats où l'un des camps est vulnérable et l'autre pas représentent la moitié du nombre total de contrats, il est normal que la somme des colonnes fasse 50 %.

On devait s'attendre à ce qu'en situation non vulnérable contre vulnérable, les contrats soient plus nombreux dans le camp des non-vulnérables (souvent en attaque). La surprise vient du fait que le phénomène est plus accentué en double-mort. L'explication est que les joueurs humains, même champions, n'ont souvent pas les moyens de se rendre compte qu'une défense serait lucrative. Ce tableau montre que dans (32,7 % - 25 %) = 7,7 % de l'ensemble des donnes, le double-mort en position favorable de vulnérabilité défend contre son adversaire, et si on ramène ce pourcentage aux 25 % de cas où l'on est NV contre V, cela montre plus de 30 % de défenses NV contre V, alors que le ratio correspondant de l'expert humain est de (27,8 % - 25 %) / 25 % = 11,2 % beaucoup plus faible.

Proportion d'enchères sous-optimales en double mort

En double-mort, dans 81,6 % des cas le contrat optimal de l'un des 2 camps est aussi le contrat de PAR. Dans les 18,4 % des cas restants, les joueurs arrivent à un compromis plus élevé comme celui de l'exemple ci-dessus.

Le pourcentage de contrats optimaux qui sont au PAR est remarquablement constant selon le niveau des contrats, à l'exception des grands chelems. On se souvient d'ailleurs que c'est à cause d'une défense (réussie) par la déclaration d'un grand chelem par l'équipe Meckstroth-Rodwell que les règles internationales du bridge furent modifiées en 1986 par un alourdissement des pénalités pour les levées de chute non-vulnérable. Certes, nos statistiques sont calculées selon les nouvelles règles, mais elles ne suffisent pas pour dissuader les grands chelems en défense, du moins en double-mort.

D'autre part, les chances de succès des contrats sous-optimaux en double mort sont faibles, et nulles au niveau des chelems. Les contrats sous-optimaux qui réussissent en double mort sont obligatoirement réalisés dans une autre couleur que la couleur optimale : en effet, si c'étaient des contrats supérieurs qui réussissaient dans la même couleur, ils seraient qualifiés de contrats forcés (cf infra).

La typologie des contrats sous-optimaux en double mort montre, sans surprise, la rareté des contrats à SA, mais aussi que la proportion de ces contrats défensifs entre mineures et majeures n'est pas du tout la même selon les différents niveaux de contrats :

Lorsque le niveau du contrat de PAR dépasse le niveau minimum que le contractant aurait souhaité atteindre, sans pour autant le mener à un niveau qui chute, le score du contractant est le même que s'il avait joué le contrat inférieur. Par exemple, le score de 4♠+1 est le même que celui de 5♠=, mais le déclarant a été forcé de monter à 5♠ car sinon les adversaires auraient joué un contrat plus avantageux pour eux. Les contrats forcés sont ainsi des contrats optimaux et réussis aux niveaux de 2, 3, 5 à une majeure, 2, 3, 4 à une mineure, et 2, 4 ou 5 à SA. Alors que le forçage à la couleur est très fréquent dans les partielles, il l'est nettement moins dans les manches et est inexistant dans les chelems.

Mais tout ceci est un peu théorique puisque calculé en double mort. Voyons ce qu'il en est pour les vrais joueurs des championnats internationaux.

Contrats légitimes et contrats de défense : comparaison entre joueur humain et double mort

Les contrats sous-optimaux sont faciles à définir et à détecter pour le double mort, mais moins faciles pour les contrats joués par les humains. Aussi, nous introduisons une nouvelle classification basée sur un critère objectif et toujours mesurable automatiquement.

Nous qualifierons dans ce qui suit de contrat légitime tout contrat joué par le camp dont le contrat optimal (calculé en double mort) permet d'atteindre le niveau d'enchères le plus élevé. Par opposition, les contrats non légitimes sont qualifiés de contrats de défense. Nous parlerons de même de camp légitime et de camp de défense.

Par exemple, supposons que N-S a un contrat optimal de 3SA= (juste fait), et que E-O a un contrat optimal de 1♣+3 (avec 3 surlevées). Le contrat de 4♣ est alors considéré comme légitime, puisqu'il est déclaré dans la même couleur que le contrat optimal de 1♣ et que tout contrat de N-S supérieur à 4♣ devrait chuter en double mort. Le camp E-O est légitime, même s'il déclare un contrat différent de 4♣ (et même s'il chute), et le camp N-S est en défense quel que soit son contrat final, même si son contrat est inférieur à son contrat optimal et même s'il est supérieur au PAR et réussit quand même.

Nous trouvons alors la répartition suivante entre déclarants légitimes et de défense :

Répartition des contractants légitimes et en défense, selon le type de contrat
Niveau de contrat	Joueurs humains		Double mort
	Camp défense	Camp légitime	Camp défense	Camp légitime
Partielle	15366 (36.2 %)	27095 (63.8 %)	7714 (16.8 %)	38166 (83.2 %)
Manche	6567 (10.1 %)	58494 (89.9 %)	9318 (17.4 %)	44226 (82.6 %)
Petit chelem	325 ( 4.3 %)	7176 (95.7 %)	2107 (17.3 %)	10077 (82.7 %)
Grand chelem	80 ( 7.4 %)	999 (92.6 %)	1589 (35.4 %)	2905 (64.6 %)
Vulnérabilité
NV / NV	5671 (19.3 %)	23722 (80.7 %)	6783 (23.1 %)	22610 (76.9 %)
V / NV	4122 (16.1 %)	21494 (83.9 %)	988 ( 4.9 %)	18996 (95.1 %)
NV / V	7323 (22.7 %)	24985 (77.3 %)	9821 (25.9 %)	28119 (74.1 %)
V / V	5222 (18.1 %)	23563 (81.9 %)	3136 (10.9 %)	25649 (89.1 %)

Toutefois, le comportement du joueur humain et celui du double mort sont très différents selon le type de contrat, ainsi que le révèle le tableau de droite. Pour les partielles, le double mort sait quand un contrat chute, et celui-ci est systématiquement contré. Tel n'est pas le cas pour les joueurs humains, car ils encourent de lourdes pénalités s'ils contrent des contrats qui finalement se réalisent, et ces pénalités sont beaucoup plus lourdes pour les partielles que pour les autres types de contrats. De ce fait, les joueurs humains, craignant peu d'être contrés (cf tableau 2), s'envolent en défense jusqu'à la limite supérieure de la partielle juste au-dessous de la manche. Rappelons que nous nous intéressons ici à des tournois de duplicates notés en IMPs, le comportement des joueurs humains est loin d'être semblable dans les tournois par paires notés en pourcentages du champ.

Pour les contrats de manches ou supérieurs, les joueurs humains craignent davantage le contre, et ne déclarent pas tous les contrats sous-optimaux comme le fait le double mort. Ceci est particulièrement vrai pour les chelems, car il y a en outre une forte incertitude sur la possibilité du joueur légitime de réaliser son contrat.

La vulnérabilité a évidemment une grande importance dans la décision de défendre. C'est Non Vulnérable contre Vulnérable (NV/V) que les camps sont le plus agressifs et V/NV qu'ils le sont le moins. L'agressivité du double mort dépend beaucoup plus de la vulnérabilité que celle du joueur humain : les contrats qui chutent sont systématiquement contrés, alors que les contrats de défense des humains qui chutent ne sont contrés que dans 30 % des cas (voir ci-dessous).

Contrats de défense joués par les experts humains : quelques indicateurs

Répartition des contractants humains légitimes et en défense : analyse de la réussite des contrats
Caractéristiques	Contrats joués en défense		Contrats joués par le camp légitime
	niveau ≤ Par	niveau > Par	niveau ≤ Par	niveau > Par
Non contrés	12757 (34.5 %)	4359 (11.8 %)	67693 (84.8 %)	22759 (46.3 %)
Contrés	3657 (10.1 %)	1565 ( 3.3 %)	1714 (66.2 %)	1598 (16.7 %)

Dans chaque case de ce tableau apparaît, outre le nombre de contrats concernés, un pourcentage en italique qui indique le taux de succès des contrats de la case concernée. Aussi bien en défense que pour les contrats joués par le camp légitime, on distingue ceux joués à un niveau inférieur ou égal au niveau du contrat de Par, de ceux joués au-dessus du niveau du contrat de Par (ce qui peut témoigner d'une tentative de manche ou de chelem malheureuse du camp légitime ou bien d'une compétitivité exagérée). On voit ici que la défense est souvent récompensée en ce sens que son contrat n'est pas contré, même lorqu'elle dépasse le niveau du Par et que son contrat a très peu de chances de réussite.

Evidemment, il arrive que le camp légitime dépasse le niveau du Par, tout comme il arrive aussi que les opposants contrent des contrats légitimes qui ne dépassent pas le Par.

Contrats à SA : succès en fonction des points H et L

Les tableaux qui suivent présupposent que les niveaux de contrats doivent être déclarés lorsque les contrats ont une certaine probabilité de réussite. Le calcul suit la logique suivante : un déclarant demande une manche à SA (ou un petit chelem, ou un grand chelem) si le gain probable est positif. Ce gain est obtenu par la formule :
g = s p + s'(1-p)
où p est la probabilité minimum de réaliser le niveau de contrat envisagé, s est le score (en IMPs) récolté en cas de gain et s' est le score (négatif) (en IMPs) en cas de chute d'une levée.
Par exemple, si le contrat envisagé est 3SA en contexte non vulnérable, et le contrat de niveau inférieur à comparer est 1SA + 2 (2 surlevées), la marque de 3 SA étant de 400 et la marque de 1 SA + 2 étant de 150, la différence est de 250, ce qui correspond d'après le barème international à s = +6 IMPs. Si par contre, le contrat de 3 SA chute de 1 levée, la marque est de -50, alors que le contrat de 1SA+1 aurait rapporté +120, d'où une marque négative de -150-50=-200, soit s' = -5 IMPs. L'application de la formule donne:
0 < 6 p - 5 (1-p) ⇒ p > 0,455 (45,5 %)

Le tableau suivant donne, pour les donnes jouée à SA en championnat par des joueurs réels, agrégées par points d'honneur (H) et de longueur (L), le taux de succès des différents niveaux de contrats. Plus précisément, chaque case contient:

• Le nombre de donnes de la base correspondant aux caractéristiques voulues (points H et L additionnés entre le déclarant et le mort),
• En gras : le nombre moyen de levées réalisé par le déclarant,
• En italiques : Le pourcentage moyen de succès de 3 types de contrats: 3SA, 6SA et 7SA.

Le tableau n'est rempli que dans les intervalles 15 ≤ H ≤ 36 et 0 ≤ L ≤ 4, et les cases avec un échantillon de moins de 5 donnes ne sont pas représentées. Les cases sur fond coloré correspondent à une probabilité "raisonnable" de succès des contrats :

• En vert: Pour les contrats de 1SA, une probabilité d'au moins 35% de succès,
• En jaune: Pour les contrats de 3SA, une probabilité d'au moins 41,5% de succès,
• En bleu: Pour les contrats de 6SA, une probabilité d'au moins 47,8% de succès,
• En rouge: Pour les contrats de 7SA, une probabilité d'au moins 53% de succès.

Pourcentage de succès des contrats à Sans Atout en fonction de H = H1 + H2 et de L = L1 + L2
Points H	Points L
	0	1	2	3	4
15	22 4.5 4.5 %/ 0.0 %/ 0.0 %
16	20 4.5 0.0 %/ 0.0 %/ 0.0 %	31 4.8 3.2 %/ 0.0 %/ 0.0 %	13 4.6 0.0 %/ 0.0 %/ 0.0 %
17	64 5.0 0.0 %/ 0.0 %/ 0.0 %	58 5.2 1.7 %/ 0.0 %/ 0.0 %	31 5.0 0.0 %/ 0.0 %/ 0.0 %	10 5.7 0.0 %/ 0.0 %/ 0.0 %
18	160 5.4 0.0 %/ 0.0 %/ 0.0 %	160 5.8 1.2 %/ 0.0 %/ 0.0 %	89 6.1 1.1 %/ 0.0 %/ 0.0 %	12 5.9 0.0 %/ 0.0 %/ 0.0 %
19	294 6.0 1.0 %/ 0.0 %/ 0.0 %	238 6.2 2.5 %/ 0.0 %/ 0.0 %	131 6.0 4.6 %/ 0.0 %/ 0.0 %	64 6.6 12.5 %/ 0.0 %/ 0.0 %	22 6.9 18.2 %/ 0.0 %/ 0.0 %
20	475 6.3 3.2 %/ 0.0 %/ 0.0 %	475 6.6 5.5 %/ 0.0 %/ 0.0 %	221 6.7 10.9 %/ 0.0 %/ 0.0 %	96 7.2 17.7 %/ 0.0 %/ 0.0 %	29 7.3 24.1 %/ 0.0 %/ 0.0 %
21	625 7.0 8.8 %/ 0.0 %/ 0.0 %	715 7.2 13.7 %/ 0.0 %/ 0.0 %	419 7.3 19.6 %/ 0.0 %/ 0.0 %	236 7.5 30.1 %/ 0.8 %/ 0.4 %	68 7.5 26.5 %/ 1.5 %/ 0.0 %
22	802 7.3 16.7 %/ 0.0 %/ 0.0 %	1103 7.5 22.9 %/ 0.0 %/ 0.0 %	663 7.8 32.6 %/ 0.5 %/ 0.0 %	335 8.0 43.0 %/ 2.1 %/ 1.2 %	107 8.1 45.8 %/ 0.0 %/ 0.0 %
23	844 7.8 23.7 %/ 0.0 %/ 0.0 %	1330 8.0 33.8 %/ 0.3 %/ 0.0 %	969 8.3 42.2 %/ 0.5 %/ 0.1 %	494 8.3 46.2 %/ 2.0 %/ 0.2 %	166 8.2 48.2 %/ 0.6 %/ 0.6 %
24	980 8.2 36.7 %/ 0.1 %/ 0.1 %	1451 8.4 48.4 %/ 0.2 %/ 0.0 %	1155 8.6 57.0 %/ 0.6 %/ 0.1 %	636 8.8 61.9 %/ 3.3 %/ 0.5 %	158 8.6 53.2 %/ 4.4 %/ 0.0 %
25	921 8.6 60.0 %/ 0.1 %/ 0.0 %	1588 8.8 63.8 %/ 0.5 %/ 0.0 %	1163 9.1 69.8 %/ 1.7 %/ 0.1 %	729 9.4 74.3 %/ 9.1 %/ 1.0 %	171 9.0 62.6 %/ 4.7 %/ 1.8 %
26	840 8.9 68.0 %/ 0.1 %/ 0.0 %	1404 9.3 79.0 %/ 2.3 %/ 0.1 %	985 9.5 78.4 %/ 5.8 %/ 0.4 %	448 9.7 79.5 %/13.4 %/ 1.3 %	179 9.7 82.7 %/11.7 %/ 3.9 %
27	600 9.4 84.0 %/ 2.0 %/ 0.0 %	986 9.8 87.7 %/ 6.2 %/ 0.6 %	685 10.0 89.3 %/12.1 %/ 1.5 %	388 10.2 89.4 %/19.1 %/ 4.4 %	100 10.4 85.0 %/31.0 %/ 8.0 %
28	404 10.0 93.1 %/ 2.5 %/ 0.0 %	675 10.3 92.7 %/14.2 %/ 1.9 %	540 10.4 94.1 %/21.7 %/ 2.4 %	283 10.7 94.7 %/31.1 %/ 6.7 %	63 10.4 93.7 %/22.2 %/ 3.2 %
29	322 10.2 96.0 %/ 7.5 %/ 0.0 %	631 10.5 97.3 %/16.6 %/ 2.4 %	383 10.8 96.3 %/29.2 %/ 4.2 %	139 10.9 95.0 %/35.3 %/ 7.9 %	36 10.5 83.3 %/44.4 %/13.9 %
30	234 10.7 99.6 %/15.4 %/ 0.9 %	293 11.1 100.0 %/33.4 %/ 3.4 %	161 11.4 100.0 %/51.6 %/ 6.8 %	138 11.4 98.6 %/52.9 %/23.2 %	32 11.2 96.9 %/43.8 %/15.6 %
31	201 11.0 98.5 %/28.4 %/ 2.0 %	182 11.3 98.4 %/45.6 %/ 4.4 %	110 11.6 100.0 %/60.0 %/ 6.4 %	44 11.5 93.2 %/65.9 %/15.9 %	20 12.2 100.0 %/85.0 %/45.0 %
32	66 11.4 100.0 %/54.5 %/ 4.5 %	103 11.6 100.0 %/57.3 %/20.4 %	69 12.1 100.0 %/84.1 %/26.1 %	34 12.2 100.0 %/94.1 %/29.4 %	14 12.5 100.0 %/100.0 %/50.0 %
33	33 11.7 100.0 %/66.7 %/ 6.1 %	47 12.2 100.0 %/93.6 %/23.4 %	29 12.5 100.0 %/96.6 %/51.7 %	43 11.9 97.7 %/74.4 %/32.6 %	11 12.5 100.0 %/100.0 %/54.5 %
34	15 12.1 100.0 %/100.0 %/ 6.7 %	40 12.5 100.0 %/95.0 %/60.0 %	10 12.4 100.0 %/100.0 %/40.0 %	27 12.5 100.0 %/100.0 %/48.1 %	12 12.4 100.0 %/83.3 %/75.0 %
35	22 12.2 100.0 %/77.3 %/45.5 %	6 12.0 100.0 %/100.0 %/ 0.0 %	15 12.9 100.0 %/100.0 %/86.7 %	7 12.6 100.0 %/100.0 %/57.1 %
36	9 12.6 100.0 %/100.0 %/55.6 %

Le principal problème de cette modélisation est la prise en compte des points de longueur L. En effet, la formule :
HL = H + L
qui additionne les points de longueur des deux mains aux points honneur n'est pas la meilleure pour la déclaration des contrats à SA. La formule :
HL = H + ½L
est a priori déjà meilleure. Toutefois, il y a mieux.

En effet, définissons L' comme étant le maximum des points de longueur des 2 mains (déclarant et mort). Nous exprimons alors la force combinée des 2 mains à SA comme une fonction de :
HL' = H + L' = H₁ + H₂ + max(L₁, L₂)
où H₁ et H₂ sont les points d'honneur respectifs des mains 1 et 2, et L₁, L₂ sont les points de longueur des mêmes mains. Si HL' ≥ 24, la manche est générablement déclarable dans le compte en IMPs, et de même le seuil de 32 doit être retenu pour les petits chelems. Pour les grands chelems, le poids à donner à L' dans la formule est encore plus important lorsque L' est supérieur à 2.

Ce nouveau mode de calcul conduit au tableau de l'annexe B, qui valorise bien mieux les points de longueur que le tableau ci-dessus, en particulier pour la déclaration des chelems. On peut voir que dans l'annexe B, la forme générale triangulaire des limites entre partielles et manches d'une part, entre manches et petits chelems de l'autre, sont très précises sauf pour 4 points de longueur L'. Il est vrai que pour L'=4 on ne dispose pas d'un nombre de donnes statistiquement significatif.
Bien que les tournois par paires notés en pourcentages ne relèvent pas de cet article, on peut noter que les manches y seraient déclarées avec HL' ≥ 25, ce qui donne en général une probabilité de succès ≥ 50 %.

Nous allons voir maintenant les succès des contrats à SA en fonction de la force des 2 mains prises séparément. Nous désignons par main 1 celle qui a le moins de points de longueur, et par main 2 celle qui en a le plus. Les mains 1 sont triées en ordonnée avec leurs points d'honneur uniquement H₁, tandis que les mains 2 sont triées en abcisse d'après leurs points HL₂ = H₂ + L₂. Dans chaque case apparaît le nombre moyen de levées de la case, avec un code couleur qui indique comme précédemment si la probabilité de succès du contrat (de 1SA, de 3SA, ...) franchit un certain seuil fixé comme précédemment (41,5% pour les manches, 47,8% pour les chelems, etc.).

Le point aberrant H₁=24 et H₂ + L₂ = 11 correspond à une donne jouée plusieurs fois, où le bon contrat aurait été de 6♦ en raison d'un singleton, mais la plupart des déclarants ont préféré jouer SA qui chute.

Nous tirons de ce tableau plusieurs renseignements :

1. Le seuil de déclaration des manches, fixé à une probabilité de 41,5% de réussite, correspond en général à environ une moyenne de 8,3 levées (et non pas 9 comme on pourrait le croire a priori).
2. Dans toute une plage qui va de 10 ≤ H₁ ≤ 16 et de 8 ≤ H₂+L₂ ≤ 14, ce seuil correspond à :
   H₁ + H₂ + L₂ = 25
   
3. Le seuil de déclaration des petits chelems avec 47,8 % de chances de succès correspond à une espérance de 11,5 levées, ce qui correspond approximativement dans la partie "centrale" à :
   H₁ + H₂ + L₂ = 32

Remarquez bien que le tableau précédent correspond au nombre de levées réellement obtenu par les joueurs humains et aux contrats qu'ils auraient donc pu raisonnablement déclarer compte tenu des chances de succès de ces contrats. En revanche, le tableau suivant donne les contrats réellement déclarés par les joueurs humains:

Les nombres indiqués dans les cases du tableau correspondent aux niveaux moyens des contrats de la case. Les niveaux sont comptabilisés comme suit:

• 1,0 : partielle (1 SA ou 2 SA)
• 2,0 : manche (entre 3 SA et 5 SA)
• 3,0 : petit chelem (6 SA)
• 4,0 : grand chelem (7 SA)

Pour la déclaration des manches, le seuil des humains correspond bien à celui calculé par nos procédés probabilistes. Par contre, pour la déclaration des petits chelems, il s'avère que les experts humains se sont fixés un seuil de
H₁ + H₂ + L₂ = 33
donc supérieur à celui que nous avions calculé. On constate ici que les experts humains sont légèrement moins agressifs à déclarer les chelems que l'on aurait pu le supposer. Ceci peut être dû à une information insuffisante de l'humain sur la force des 2 mains pour les mains très fortes.

Impact de la loi des levées totales sur les contrats à la couleur

La loi des Levées Totales (LLT), ou loi de Vernes, stipule que le nombre total des levées réalisé par les 2 camps, chacun jouant dans sa couleur d'atout la plus longue, est environ égal à la somme des longueurs des couleurs les plus longues des 2 camps. Pour davantage d'explication, voir le document pédagogique sur clairebridge.com. Cette loi a notamment été vérifiée par Mat Ginsberg en double mort. Dans le présent article, nous ne vérifions pas la LLT mais nous nous intéressons à ses impacts sur les contrats à la couleur.

Bien évidemment, le principal impact de cette loi est de mieux cerner les situations défensives. Dans cette section, nous nous attachons à répondre à la question : quand convient-il que la défense intervienne pour forcer un contrat (typiquement, manche ou chelem) ?

Impact de la LLT sur les contrats calculés en double mort

Nous commençons par un cas simple : en défense "vert contre rouge", admettons que les adversaires réussissent 4♥, combien de points d'honneur et combien de cartes à Pique convient-il de totaliser dans les 2 mains de la défense pour déclarer 4♠ ?

Ce tableau concerne le jeu en double mort, précisons-en donc les règles. Chaque fois qu'un contrat chute, ce qui est le cas général des contrats de défense, le double-mort le considère comme contré, et le score comporte la pénalité correspondante. Chaque case concerne le cas où le contrat de 4♥ réussit dans le camp légitime avec un nombre d'atouts (♥) indiqué dans la colonne, et un nombre d'atouts de la défense (♠) indiqué dans la ligne.
Dans chaque case, le 1er nombre donne le nombre de cas concernés dans la base de données, le 2ème le pourcentage de cas où la défense a marqué davantage de points que le camp légitime n'en aurait marqué. Ce pourcentage est donc davantage un indicateur de TPP que de duplicates. Lorsqu'il est supérieur à 50%, la case est colorée en jaune. Insistons qu'il ne s'agit pas d'un pourcentage de réussite des contrats, qui tous échouent, mais d'un meilleur résultat de la défense.

Notre méthode fait 2 hypothèses :

1. les contrats légitimes réussissent : ainsi, dans cet exemple, 4♥ est certain de réussir et 4♠ est certain d'échouer (ou bien 4♥ est certain de réussir et 4♠ est certain d'échouer) ; en effet, si les contrats de défense réussissaient en double mort, ils seraient classé comme des contrats légitimes !
2. puisque les contrats de la défense échouent, ils sont automatiquement contrés par le camp légitime.

Quoiqu'il en soit, le résultat de cette étude est incontestable: à vulnérabilité favorable, si le camp de la défense a au moins 9 atouts (♠) et 16 points H, et qu'il fait confiance à son adversaire pour avoir déclaré un contrat de 4♥ qui réussit, il doit déclarer 4♠ sans craindre le contre adverse !

Avec 13 à 15 points H dans la ligne, la défense doit davantage se méfier mais les résultats sont du même ordre :

Avec 10 à 12 points H dans la ligne, plus question de défendre :

Nous pouvons également mener ces calculs avec d'autres situations de vulnérabilité. Les diagrammes correspondant aux 4 types de vulnérabilité sont donnés en annexe A. On peut résumer les 4 cas de vulnérabilité par le tableau suivant :

Défenses par 4 ou 5 ♠ contre 4 ou 5 Coeur avec ≥ 16H Nombre moyen d'atouts nécessaires dans le camp de la défense en fonction des vulnérabilités
Camp défense	Camp légitime	Longueur minimum de la couleur du camp de la défense
NV	V	8,62
NV	NV	9,45
V	V	9,61
V	NV	10,74

Abbréviations: NV=Non Vulnérable
V=Vulnérable

Le seuil est déterminé par interpolation linéaire entre les chances de meilleur score de la défense pour deux valeurs consécutives de la teneur en atouts. Par exemple, un seuil de exactement 9,00 pourrait indiquer que la défense n'aurait dû en aucun cas se manifester avec 8 atouts et aurait eu 100 % de chances de succès avec 9 atouts, mais pourrait aussi indiquer qu'elle avait 40 % de chances avec 8 atouts et 60 % avec 9 atouts.

Si la défense est vulnérable, elle a besoin d'environ un atout de plus que si elle n'est pas vulnérable. De même, si le camp légitime est non vulnérable, la défense a besoin d'environ un atout supplémentaire pour l'attaquer.

Défenses par 5 dans une mineure contre 4 Coeur ou ♠ Nombre moyen d'atouts nécessaires dans le camp de la défense en fonction des vulnérabilités
Camp défense	Camp légitime	Longueur minimum de la couleur du camp de la défense
NV	V	8,81
NV	NV	10,35
V	V	9,80
V	NV	n.d.

Les défenses au niveau de 5 dans une mineure nécessitent une longueur légèrement supérieure à celles au niveau de 4 dans une majeure. En double mort, elles ne se justifient jamais dans la situation vulnérable contre NV.

Défenses par un petit chelem contre un autre petit chelem Nombre moyen d'atouts nécessaires dans le camp de la défense en fonction des vulnérabilités
Camp défense	Camp légitime	Longueur minimum de la couleur du camp de la défense
NV	V	8,89
NV	NV	9,7
V	V	n.d.
V	NV	n.d.

La défense contre un petit chelem est difficile. En double mort, elle n'est envisageable que si les défenseurs sont non vulnérables.

Défenses par un grand chelem contre un autre grand chelem Nombre moyen d'atouts nécessaires dans le camp de la défense en fonction des vulnérabilités
Camp défense	Camp légitime	Longueur minimum de la couleur du camp de la défense
NV	V	8,81
NV	NV	8,95
V	V	9,79
V	NV	10,28

Très curieusement, la défence contre un grand chelem gagnant est plus rentable que la défense contre un petit chelem. Avec 11 cartes à l'atout, elle est statistiquement toujours bonne, même avec une vulnérabilité défavorable.

Défenses à ♠ contre des partielles Nombre moyen d'atouts nécessaires dans le camp de la défense en fonction des vulnérabilités
Camp défense	Camp légitime	Longueur minimum de la couleur du camp de la défense
NV	V	8,90
NV	NV	n.d.
V	V	9,13
V	NV	n.d.

La défense contre des partielles n'est pas intéressante à étudier en double mort parce que le double mort assume que les contrats qui chutent sont automatiquement contrés, ce qui n'est évidemment pas le cas général dans la vraie vie. Nous nous contentons d'examiner le cas des défenses à ♠ contre des partielles d'autres couleurs.

On étudie ci-dessous le seuil de déclaration des défenses contre toutes les manches (les défenses les plus utiles pour lesquelles nos données sont statistiquement significatives) en fonction du nombre total de points H de la paire de défenseurs. Au-dessus de ce seuil, la défense est lucrative dans au moins 50% des cas.

Nous reprenons les mêmes donnes que précedemmant, à savoir les 1039 donnes NV/V pour lesquelles une défense à 4 ou 5 ♠ contre un contrat qui réussit à 4 ou 5 ♥ est possible. Comment se sont comportés les experts ?

Les experts ont été moins agressifs que le double mort dans leurs contrats de défense. Il est vrai qu'ils n'ont pas une information complète comme le double mort. Par contre, ils sont plus rarement contrés, et ils ont parfois déclaré des contrats moins élevés que le double mort, et les ont parfois gagnés. Il est aussi vrai que les contractants légitimes ne sont parfois pas arrivés au contrat légitime de 4 ou 5 ♥ et que certains ont dépassé le niveau optimal.

Experts humains : Défenses par 4 ou 5 ♠ contre 4 ou 5 Coeur avec ≥ 16H Nombre moyen d'atouts nécessaires dans le camp de la défense en fonction des vulnérabilités
Camp défense	Camp légitime	Longueur minimum de la couleur du camp de la défense
NV	V	9,25
NV	NV	9,79
V	V	10,38
V	NV	10,67

Les experts humains tiennent moins compte de la vulnérabilité que le double mort dans la même situation. Nous savons pourquoi : le défenseur humain est beaucoup moins contré que le double mort.

Dans le tableau à gauche, un résultat imprévu : le seuil (en longueur d'atout) de la défense des experts humains est largement indépendant de la force des jeux en points H, contrairement aux résultats du double mort dans la même situation.

Pour vérifier la signification de ce résultat, le tableau suivant donne le nombre moyen de points H de la ligne de défense pour les contrats en double mort et pour le contrats humains.

Le tableau ci-contre à droite concerne tous les contrats où le déclarant peut réussir une manche vulnérable et où la défense n'est pas vulnérable. Le nombre moyen de points H de chaque case est donné :

• sur la ligne "DD" en italique pour les contrats choisis par le double mort ou non choisis par le double mort
• et pour les contrats choisis par les humains en casse normale sur la ligne "H".

On constate que les choix des joueurs humains, en termes de nombres de points H, sont très voisins de ceux du double mort. Par contre, les seuils en nombres d'atouts sont différents.